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もう一度ふりかえる

はてスタもらったのでもうちょっとがんばる。

元の式が、
\frac{x}{1-x-x^2} ・・・式(1)
で、目標はこれを
F_0x^0+F_1x^1+F_2x^2\dots
というかたちにしたいということだ。「僕」が最初にやったのは式(1)を
\frac{1}{1-rx}+\frac{1}{1-sx}
というかたちにできないか、とやってみたわけだ。もしこのかたちになれば、これは無限等比級数の和だから
(rx)^0+(rx)^1+(rx)^2+\dots+(sx)^0+(sx)^1+(sx)^2+\dots
=(r^0+s^0)x^0+(r^1+s^1)x^1+(r^2+s^2)x^2+\dots
となって、目標達成できる。でも実際には、
\frac{2-(r+s)x}{1-(r+s)x+rsx^2}
となってしまった。これに式(1)をあてはめようとすると2が邪魔だ。

この2はどっからきたのかというと、通分した時に分子と分母の1を掛けたものを足したもの、つまり(1*1)+(1*1)だ。ミルカさんはこの2を消すためにRとSを使って、
\frac{R}{1-rx}+\frac{S}{1-sx}
とした。定数2つも増やして後で困らないの?と不安に思うわけだけど、どのみち消える運命なので、R+S=0にするのはもう決まっている。S=-RだからSを使わずにこう書いてもいいはずだ(ここから急にRが太字になってる気がするけど気にせずに)。
\frac{1}{1-rx}R-\frac{1}{1-sx}R
これなら最終的には
((rx)^0+(rx)^1+(rx)^2+\dots)R-((sx)^0+(sx)^1+(sx)^2+\dots)R
=((r^0x^0R)+(r^1x^1R)+(r^2x^2R)+\dots)-((s^0x^0R)+(s^1x^1R)+(s^2x^2R)\dots)
=R(r^0-s^0)x^0+R(r^1-s^1)x^1+R(r^2-s^2)x^2+\dots
というかたちにできるはずだ。うーん。ミルカさんには未来が見えているにちがいない。

あと、前回の書いてて思ったのは、1/(1-x)って反比例だよね。マイナス側からきて、x=0,y=1を通ってそのあとグイっと上に向かうようなグラフになるはず。x^0+x^1+x^2...って足していくと反比例のグラフに近付いていくなんて不思議だ。